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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27040 - Topology of Surfaces


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27040 - Topology of Surfaces
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
Second semester
Subject type:
Optional
Module:
---

1. General information

Topology studies the properties of spaces that are preserved by deformations without "cutting and pasting". In this context, a surface is a space that is locally like two-dimensional Euclidean space, such as a sphere. Surfaces occur naturally in many areas of mathematics, and their (topological) classification is a natural problem.

One of the main objectives of the course is to prove the classification theorem for surfaces. To this end, some rudiments of algebraic topology will be introduced, an area of topology that associates algebraic objects to topological spaces. In this context the notions of homotopy and fundamental group of a topological space appear.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Understand the notion of fundamental group and be able to compute it in some concrete situations.
  • Topologically recognize compact surfaces and classify them.

3. Syllabus

  1. Fundamental group.
    • Definition and preliminaries.
    • Calculations of fundamental groups.
    • The fundamental group of the circumference.
    • Seifert-Van Kampen theorem.
  2. Classification of surfaces.
    • Connected sum. Surgery.
    • Triangulation. Euler characteristic.
    • Classification theorem.
  3. Covering spaces.
    • G-spaces and group actions.
    • Definition and motivation of covering space.
    • Covering spaces of surfaces.
  4. Introduction to knot theory.

4. Academic activities

Master classes: 45 hours.
Problem solving: 15 hours.
Project: 25 hours.
Study: 62 hours.
Assessment tests: 3 hours.

5. Assessment system

  • Along the course, students are asked to solve different activities (mostly exercises and problems). These activities are the part of continuous evaluation.
  • Besides, the students are asked to prepare a topic for the course, and if the schedule allows it, give an oral presentation about it.
  • The final grade will be obtained averaging the degrees of all those tasks.

The students can take a written exam after the end of the classes. In that case, the final grade will be highest of the two grades.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27040 - Topología de superficies


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27040 - Topología de superficies
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

La topología estudia las propiedades de los espacios que se preservan por deformaciones sin «cortar ni pegar». En este contexto, una superficie es un espacio que localmente es como el espacio euclidiano bidimensional, como por ejemplo una esfera. Las superficies aparecen naturalmente en multitud de áreas de las matemáticas, y su clasificación (topológica) es un problema natural.

Uno de los objetivos principales de la asignatura es demostrar el teorema de clasificación de superficies. Para ello se introducirán algunos rudimentos de topología algebraica, un área de la topología que asocia objetos algebraicos a espacios topológicos. En este contexto aparecen las nociones de homotopía y grupo fundamental de un espacio topológico.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Comprender la noción de grupo fundamental y ser capaz de determinarlo en algunas situaciones concretas.
  • Reconocer topológicamente las superficies compactas y su clasificación.

3. Programa de la asignatura

  1. Grupo fundamental.
    • Preliminares y definición.
    • Cálculo de grupos fundamentales.
    • El grupo de la circunferencia.
    • Teorema de Seifert-VanKampen.
  2. Clasificación de superficies.
    • Suma conexa. Cirugía.
    • Triangulación. Característica de Euler.
    • Teorema de clasificación.
  3. Espacios recubridores.
    • G-espacios y acciones.
    • Motivacion y definición de espacio recubridor.
    • Espacios recubridores de superficies.
  4. Introducción a la teoría de nudos.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 45 horas.
Resolución de problemas y casos: 15 horas.
Trabajos docentes: 25 horas.
Estudio: 62 horas.
Pruebas de evaluación: 3 horas.

5. Sistema de evaluación

  • Durante el curso, se realizarán diversas actividades evaluables en clase (fundamentalmente ejercicios). Estas actividades supondrán la parte de evaluación continua.
  • Cada alumno realizará un trabajo sobre un tema básico de la asignatura que podrá exponerse en clase, dependiendo del volumen de alumnos matriculados.
  • La nota de la asignatura se obtendrá promediando las notas de las actividades de evaluación continua y las diferentes exposiciones y/o trabajos.

En cualquier caso, el alumno podrá realizar un examen escrito al terminar el periodo lectivo, prevaleciendo la mejor de las dos calificaciones obtenidas.